Kerbal Space Program으로 배우는 궤도역학 -궤도 에너지

궤도 에너지방정식

극좌표계에서 속력은

이다(e_r은 ksp에서 radial out이고, e_theta는 ksp에서 prograde임)

참조: https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system#Vector_calculus

속력의 제곱은

라고 할 수 있다

에너지 보존법칙 때문에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면 운동 에너지와 위치 에너지를 합한 값은 일정하다

운동에너지=1/2mv^2 이고, 위치에너지= V(r) 이라 하면

전체 운동에너지는 항상 보존되고 식으로 나타내면

그런데 앞에서 케플러 1법칙 설명할 때

이라고 했으니까 이걸 잘 이용해서 식을 정리하면

이렇게 된다.

 

위의 중력 예시에서 위치에너지 함수 V(r)=-k/r (k=GMm)이라는 걸 이용해서 식을 정리하면

 

여기서 우리는 u에 대한 식으로 알고 싶은데 지금 식이 너무 복잡하므로 일단 a=-1, b=2k/ml^2, c=2E/ml^2 를 대입하고 적분해주면

이제 이건 u (1/r)에 대해 더 쉽게 풀 수 있는데, u에 대해 풀어보면

이걸 r에 대해서 정리하고 아까 치환한 걸 다시 대입하면

인데 이게 어디서 많이 본 식일거다

저번에 케플러 2법칙 유도하면서 본 타원의 방정식이다

그럼 이심률은

이므로

(알파는 타원의 통경)

 

위의 결과를 에너지 보존 법칙 식에 대입하면

이걸 속도 v에 대해 정리하면

이런 식이 나온다.(r: 중심까지의 거리, a: 장반경)

vis-viva equation이라고 하는 이 식으로 원하는 궤도로 가는 델타 V를 구할 수 있음

이제 실습을 해보겠다

 

LKO에서 KTO(커빈 정지 천이 궤도)로 갈 때 필요한 DV

 

LKO 궤도속도: 2262.7m/s

 

LKO->KTO

GM=3.5316000×1012 m3/s2

r=87000m+600000m=687000m(지금 궤도 높이+지구 반지름)

a=(2863330m(Ap높이)+600000m(커빈 반지름)+87000m(지금 높이)+600000m(커빈 반지름))/2=2075165m

이므로 계산하면 v= 2929m/s(최저점 속도)

 

2929-2262.7=666.3m/s

662.5m/s로 거의 차이 안 난다

최저점 속도 2934m/s

 

이제 KSP에서 특정 주기나 최근점, 최원점을 가지는 궤도에 가는 정확한 델타 V를 계산할 수 있을거다

좀 더 생각해보면 행성간 천이도 계산해낼 수 있다(SOI경계에서의 속도와 관계되어 있음)

 

이 글도 다른 데 쓴 글 백업하는 것이다. 대부분 Fowles 고전역학 책을 참고하였다.