로켓방정식

이렇게 앞으로 나가면서 입자와 충돌해서 질량이 증가하는 물체가 있다고 하자.

충돌 전후의 운동량의 다음과 같다

$\triangle p = (m+\triangle m)(v+ \triangle v) - (mv+V\triangle m)$

 

$V = u-v$라고 하면

$\triangle p = m\triangle v+\triangle m\triangle v - V\triangle m$

 

운동량의 변화량은 힘이므로

$F = \frac{\triangle p}{\triangle t} = (m+ \triangle M) \frac{\triangle v}{\triangle t} - V\frac{\triangle m}{\triangle t}$

 

정리하면

$F = \dot p = m\dot v - V\dot m$

가 가변질량 물체의 운동방정식이다, 질량이 줄어들어도 적용된다.(F는 외력)

 

외력이 없다면

$m\dot v = V\dot m$

 

변수를 분리하고 양변 적분하면

$\int_{v_0}^{v} dv = -V\int_{m_0}^{m} \frac{dm}{m}$

 

$v = v_0+Vln\frac{m_0}{m}$

라는 식이 나온다.

여기서 V(대문자)는 배출속력이다.(로켓의 속력+배출입자의 속력)

 

중력의 영향을 받으며 움직이는 로켓

의 운동방정식은

$m\frac{dv}{dt}-V\frac{dm}{dt} = mg$

정리하면

$\frac{dv}{V} = -\frac{dm}{m} -\frac{g}{V}dt$

이다.

 

여기서 $mg < dmV$이어야 로켓이 이륙할 수 있다.

또, $\tau_s = V/g$ 라고 하고 비충격량(단위: 초)라고 한다.

 

$\frac{dv}{V} = -\frac{dm}{m} -\frac{g}{V}dt$ 이 식의 양변을 적분해보자

 

$\frac{1}{V}\int_{0}^{v_f}dv = -\int_{m_0}^{m_f}\frac{dm}{m} -\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau_B}dt$

 

(여기서 $\tau_b$는 최종 속도 도달 시간이다)

적분하면

$\frac{v_f}{V}=ln[\frac{m_0+m_F}{m_0}]-\frac{\tau_b}{\tau_s}$

이다.

 

좀 더 쉽게 쓰면

$\frac{m_F}{m_0} = e^(\frac{v_f}{V}+\frac{\tau_B}{\tau_s})-1$

이다.

 

그럼 간단한 예시를 하나 들어보겠다.

Falcon 9

Falcon 9의 2단은 비추력 348초 397초의 연소 시간을 갖고 있고, 7700m/s 정도의 속력을 낼 수 있다.

무게는 111.2톤, 연료 무게는 107.5톤이다.

 

107.5/3.7  = e^(7700/3400+397/348)-1 =29

대략 맞다.

 

문제는 이건 빈 로켓으로 발사한 거다. 비어 있는 로켓으로 발사해야 겨우 궤도 형성할 수 있고, 사실 이마저도 gravity drag(중력이 뒤로 잡아당기는 힘) 때문에 부족하다. 궤도에 갈려면 9000m/s이상이 필요하다.

 

2단 로켓을 만들어보자.

 

1단 빈무게+2단 질량 : 133.5톤

연료 411톤

411/133.5 = e^(2620/3000+162/305)-1

 

1단에서 2620m/s를 추가해줄 수 있다.