Kerbal Space Program으로 배우는 궤도역학 -궤도 경사각, 2입자 운동, 제한된 3입자 문제

궤도 경사각

궤도의 다른 조건은 유지하고 궤도 경사각만 바꾸고 싶다고 하면 위처럼 경사각을 바꾸기 전과 후의 속도 벡터의 크기는 동일할 것이므로

저렇게 이등변 삼각형을 만들 거다.

그럼 저 이등변 삼각형의 짧은 변의 길이(=델타 V)를 구하면 됨

그럼 저 짧은 변의 길이는 어떻게 구하냐면, 코사인 법칙을 이용하면 된다.

(코사인 법칙: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BD%94%EC%82%AC%EC%9D%B8_%EB%B2%95%EC%B9%99)

 

계산해보면 v^2= 579.6^2+579.6^2-2*579.6*579.6*cos(22.5)=51143, v=226m/s 로 KSP에서 확인한 것과 정확히 일치함

속도벡터가 작을 때 궤도경사각을 바꾸면 이득이니까 궤도경사각은 Ap에서 바꾸는 게 유리하다.

 

2입자 운동

ksp에서는 뮌이 커빈 주위를 돌고, 커빈이 태양 주위를 도는데

명왕성하고 카론같이 질량이 상당히 비슷한 것들끼리 돌면 둘의 질량 중심을 기준으로 돈다고 보는 게 더 정확하다

그래서 질량이 비슷한 두 물체가 도는 중이면 케플러 법칙이 아니라 2입자 운동으로 계산해야 된다.

이렇게 공통 질량 중심을 돈다는 걸 알 수 있다.

별로 중요하진 않으니까 자세한 정보는:https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem

실험해보고 싶으면 이 사이트에서:https://evgenii.com/blog/two-body-problem-simulator/

 

제한된 3입자 문제: Principia 모드

궤도를 도는 물체의 질량이 작으면, 케플러 궤도는 거의 맞는데, 궤도를 도는 물체의 질량이 크면 케플러 법칙은 잘 안맞기 때문에 2입자계 운동으로 풀어야된다.

그런데, 2입자계 운동에서 질량이 작은 물체(인공위성 같은거)를 놓으면 어떻게 되는지를 알고 싶을거임 3번째 물체의 질량을 무시할 수 있는 수준이라서 제한된 3입자 문제라고 이름이 붙는다

이 문제는 미분방정식 형태로 운동 방정식이 나오는데 일반해를 구하는 게 불가능해서 수치해석으로 풀어야된다.

 

이렇게 입자들이 있고 이 입자들이 회전하고 있다고 생각하면 된다.

2입자 운동으로 볼 때 원점이 질량 중심이고, 원점-M1을 x축으로 회전하는 좌표계라고 보면 된다.

 

그럼 작은 질량 m이 받는 중력은

(r1/r1, r2/r2는 위치벡터)

이게 실제 작용하는 힘인데, 여기서는 회전하는 좌표계에서 보기 때문에 비관성력(구심 가속도, 코리올리 가속도)을 고려해야 된다.

회전좌표계에서의 비관성력: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_reference_frame

이걸 xy좌표계로 옮기면 되는데 궁금하면 위의 위키피디아에서 코리올리 힘이나 구심 가속도 링크 참조

 

그래서 잘 계산하면

이런 두 개의 미분 방정식이 나오는데

이걸 룽게-쿠타법같은 걸로 컴퓨터로 풀면 위치와 속도를 알 수 있다

룽게-쿠타법: https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods

 

이제 위치 에너지를 구해봐서 라그랑주점에 대해 설명하겠다

위 식을 잘 적분해서 위치 에너지를 구해보면(정확히는 유효 위치 에너지)

이렇게 되는데 이 함수를 그리면 대충 이렇게 나옴

여기서 저 곡면 위의 점의 z축 좌표가 그 위치에서의 위치 에너지이다

 

1. 점의 좌표가 달이나 지구에 가까이 있어서 위치 에너지가 -무한대면 케플러 궤도를 돈다고 할 수 있다

2. 점의 좌표가 지구-달 시스템 밖에 있어서 위치 에너지가 -무한대면 : 탈출궤도

3. 위치 에너지의 변화량(∇위치 에너지함수)=0인 점: 라그랑주점

   1. L1, L2, L3: 불안정한 평형점: 이 점을 중심으로 리사주 궤도를 그리면서 돔

   2. L4, L5: 안정한 평형점: 코리올리 힘과 위치 에너지가 균형을 이뤄서 이 점을 중심으로 도는 궤도가 만들어짐

 

위치

L3, 지구 반대편에 달이 있음(지구-달 질량중심 좌표계에서 본 것임)

L4, 지구-달과의 각도가 60도인 지점

L2, 많이 불안정함

 

이 글 또한 백업용으로 쓰는 것이다. Fowles 책을 참조하였다.