푸리에 해석

테일러 급수를 아는 사람들은 알겠지만, 어떤 임의의 함수는 멱급수 형태로 전개할 수 있다.

그럼 반대로 생각해보자 어떤 임의의 주기함수는 사인함수의 합으로 이루어질 수 있는가?

 

어떤 함수 $f(x)$를

$\frac{1}{2}a_0 + a_1\cos x+a_2 \cos 2x + a_3 \cos 3x ... + b_1\sin x+b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x ...$

이렇게 주기함수의 합으로 나타낼 수 있다고 가정해보자

 

이런 식을 구하기 위해서는 한 주기에 대한 삼각함수의 평균값에 대해 알아야 한다.

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$\sin mx \cos nx$의 평균값은

$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx dx = 0$

 

$\sin mx \sin nx$의 평균값은

$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx = 0(m \neq n), \frac{1}{2}(m = n \neq 0), 0(m = n = 0)$

 

$\cos mx \cos nx$의 평균값은

$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx = 0(m \neq n), \frac{1}{2}(m = n \neq 0), 1(m = n = 0)$

 

여기서 두 주기함수의 곱이 $\frac{1}{2}$인 것을 직교한다고 한다.(위의 것을 함수의 내적아라고도 한다 나중에 르장드르 다항식 설명할 기회가 되면 그때 설명하겠다)

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그럼 여기서 $a_0$의 값을 구할 수 있다.

$\frac{1}{2}a_0 + a_1\cos x+a_2 \cos 2x + a_3 \cos 3x ... + b_1\sin x+b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x ...$

여기서 사인이나 코사인같은 삼각함수의 주기에 대한 평균값은 0이기 때문에 $\frac{1}{2}a_0$을 제외한 보든 항은 0이다.

 

에서 양변의 $(-\pi, \pi)$에서의 평균값을 구하기 위해 양변을 적분하면 된다.

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + a_1\cos x+a_2 \cos 2x + a_3 \cos 3x ... + b_1\sin x+b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x ...$

 

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx =$

$\frac{1}{2}a_0\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx + a_1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos x dx+a_2 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos 2x dx+ a_3 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos 3x dx ...$

$+ b_1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x dx+b_2 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x dx+ b_3 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin 3x dx ...$

 

그럼 $a_0/2$은 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$ 이다.

 

이걸 다른 항들에 적용해보자.

 

$f(x)$에 $\cos(x)$를 곱하고 평균을 구해보자

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos x dx =$

$\frac{1}{2}a_0\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos x dx + a_1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 x dx+a_2 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos 2x \cos x dx+ a_3 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos 3x \cos x dx ...$

$+ b_1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \cos x dx+b_2 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x \cos x dx+ b_3 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin 3x \cos x dx ...$

이다.

 

위에서 한 주기에 대한 주기함수의 곱의 평균값을 이용하여 위 식의 값을 구해보면

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos x dx = a_1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 x dx$

 

$a_1$에 대해 풀면

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos x dx = a_1$

이다.

 

다른 항들에 대해 똑같은 과정은 거치면 다음을 알 수 있다.

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx = a_n, \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx = b_n$

 

이것이 푸리에 급수이다.

 

복소수 형태로는 위와 비슷하게 전개할 수 있다.

$f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}$

$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{inx}dx$

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Dirichlet 조건

어떤 주기함수를 항상 푸리에 급수로 전개할 수 있는 것은 아니다.

1.한 주기 내의 모든 함숫값이 $(-1, 1)$이고

2.최댓값과 최솟값이 유한개이고

3.불연속점이 유한 개여야 한다.

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Parseval의 정리

$f(x)$의 평균값은 $(\frac{1}{2}a_0)^2 + \frac{1}{2}\sum_1^\infty a_n^2 + \frac{1}{2}\sum_1^\infty b_n^2$이다.

따라서 위의 식에서 한 개의 항이라도 빠진다면 평균값이 달라지게 되고, 푸리에 급수로 표현 불가능해진다.

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푸리에 변환

푸리에 급수를 복소수 형태로 쓰면

$f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i \pi n x \ l}$

인데 여기서 항들의 합을 적분으로 바꿀 수 있다

 

그러면

$f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i \pi n x \ l}$

*여기서 $c_n = \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x) e^{-in\pi x \ l}dx$은 푸리에 급수의 계수로 위해서 구하기 위해 유도했었고, 복소수 형태로 다시 썼다.

 

그러면

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} g(\alpha)e^{iax} d\alpha$

$g(\alpha) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\alpha x}dx$

($g(a)$는 푸리에 계수인$c_n$이다)

 

그러면 이제 적분으로 바뀌었기 때문에 특정 구간에서만이 아니라 전체 구간에서의 푸리에 계수를 구할 수 있다.

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아주아주 간단히 설명하고 넘어간 부분이 있지만, 대충 이정도면 된 것 같다.

예시를 들어보자

 

$f(x) = -1(-\pi < x< 0), 1(0< x<\pi)$인 함수를 전개하면

$f(x) = \frac{4}{\pi}(\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}...)$이다. (위의 푸리에 급수에 넣어서 한번 해 보자)

 

이걸  그려보면

대충 이렇게 되겠다.

항의 수가 늘어나면 더 직선에 가까워지지만, 여기서는 잘 보이게 하기 위해 11개의 항만 사용하였다.

 

동영상을 봐 보자 코드는 파이썬으로 작성하였다. 곧 공개하겠다.