1학년때부터 가장 궁금해하던거라 여기다가 가장 먼저 적게 되었다. 출처는 Boas 수리물리학, Fowles 역학, 영어 위키피디아 정도이고 장작위키보다 쉽게 적는게 목표이다. 틀린 건 댓글로 부탁한다.
+기본적인 미적분학은 아는 걸 전제로 쓴다.
해외여행을 가본 사람들은 알겠지만, 비행기를 탈 때 지도상의 직선경로가 아닌 이상한 경로로 가는 경우가 있다. 국경 문제도 있겠지만, 그것이 최단거리이기 때문이다.
1.오일러-라그랑주 방정식 유도
그럼 직선 y(x)에서 최단거리는 어떻게 구하는가?
다들 아주 잘 알다시피
이렇게 피타고라스법으로 구할 수 있다.
곡선은? 미분과 적분을 사용해보자
이제 평면에서의 최단거리는 쉽게 구할 수 있다. 위 식의 최솟값이 직선의 최단거리 방정식이다.
근데 곡선이나 그런 데서의 방정식은 어떻게 구하냐?
이런 그래프가 있다고 하자(곡면보다는 평면에서 일반화한걸 곡면에 적용하는게 쉬우니까)
위의 빨간선이 최단거리이고 y(x)라는 함수라고 하자
위의 파란선이 거기에서 약간 벗어난 Y(x)라 하고 y(x)에 약간 이상한 함수 e*n(x)를 붙였다 하자.(y(x) + e*n(x))
위에서 평면에서의 거리를 최소화시켜 본 것 처럼 Y'(x)를 최소화시키면 된다.
이렇게
여기서 I를
라고 하자
이 I, F는 e에 대한 함수이므로 편미분할 수 있다. (연쇄법칙, 전미분 등 참조)
이렇게
그런데, dx/de가 0이므로(x에는 e의 성분이 없으므로) 마지막 항은 0이다.
또,
이라고 했으므로
다시쓰면
이렇게 된다.
그런데, 최단거리가 되려면 e가 0일때 최단거리이므로(Y(x)와 y(x)가 같아지므로) 위 식의 값은 0이다.
저 2번째 항을 부분적분하면
이렇게 나오는데 위에서 봤겠지만, n(x)는 양 끝값이 0인 함수이므로(y(x)에 붙어있는 함수이므로)
이 식을 이용하면
가 나오는데 여기서
이걸 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다.
배우고나니 내 생각보다 쉬운 거였다.
2. 예시
예시 하나 들어보자
최속강하선 문제는 베르누이시절부터 있었던 문제로 아이작 뉴턴이 최초로 해결했다고 한다. 뉴턴도 이런 변분법의 기초적인 틀은 알고 있었다고 했도 이후 오일러, 라그랑주 등이 완성했다고 한다.
가장 빨리 떨어지는 곡선을 찾으면 된다.
영상을 잘 감상했다면 한번 풀어보자
자유낙하하는 물체의 에너지는
이므로
이다.
여기서 최소화하고자 하는 것은 도달시간 t이므로
이 바로 위 식을 오일러-라그랑주 방정식의 F에 넣으면 된다
그럼 대충 이런 식이 튀어나오는데 (c는 상수)
x'에 대해 풀면
라고 하면
이런 값이 나오는데, 잘 그려보면 된다.
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