Tennis racket theorem과 우주선

미국이 첫 번째 인공위성 익스플로러 1호를 발사하고 이상한 현상을 발견함. 익스플로러 1호의 신호를 받을 수 있는 위치였는데도 신호를 받지 못했다.

과학자들이 이걸 잘 분석해 보니까 익스플로러 1호가 특이하게 회전하고 있었다.

 

익스플로러 1은 자세 제어 장치(RCS, 반작용휠) 의 무게를 줄이려고 회전 안정이란 자세 제어 방식을 사용했는데 회전 안정 방식은 위 영상에서처럼 우주선에 회전을 줘서 우주선이 별도의 자세제어 없이 한 방향을 가리킬 수 있게 할 수 있다

그런데 우주선이 의도된 방향으로 회전하는 게 아니라 이상한 방향으로 회전하고 있었다.

 

이렇게

 

*각운동량과 운동에너지에 대해서는 직접 찾아보기 바람

 

각운동량에서

라고 했었는데 (w는 각속도)

여기서 mr^2는 각속도에 영향을 받지 않아서 따로 I라고 쓰겠다(관성모멘트)

관성모멘트는 물체 모양에 영향을 받는 양이다.

그럼 각운동량은 Iw^2라고 쓸 수 있다

근데 물체는 3차원이니까 3개의 관성 모멘트를 가진다

x축 y축 z축 이렇게

그런데 각운동량은 방향을 가지는 양(벡터)니까 방향을 없애면 좋겠는데 내적이란 걸 해주면 된다. 간단히 말하자면 서 있을 때 그림자의 길이하고 내 키의 길이를 곱하는 거다.

이렇게 내적을 하면

라는 결과가 나온다(1,2,3은 x y z 축)

그리고 이제 운동에너지를 봐야 되는데 운동에너지는

임 그리고 속도는 각속도*반지름으로 구할 수 있다

그러면 운동에너지는

라고 할 수 있다

이걸 또 세 축에 대해 구하면

이다.

이걸 이제 그려보기만 하면 왜 우주선이 저렇게 회전하는지 알 수 있다

저 위의 식에서 각운동량의 제곱 식과 운동에너지를 2배한 식을 좌표에 그리면 타원이 나온다.

이렇게 두 타원이 겹칠 때 생기는 선이 있는데 이 선을 따라서 회전한다고 생각하면 된다.

저 타원이 각운동량하고 운동 에너지를 나타낸 거다(파란색 타원의 크기가 고정되어 있다고 생각하면 됨)

각운동량과 운동 에너지 사이의 관계를 살펴보면

이런 식을 얻을 수 있는데 우주에서는 마찰력이나 그런 힘이 거의 없으므로 운동에너지와 각운동량이 보존되니까 둘은 일정하다

저 식에서 가운데 있는 점이 내적 기호인데 그렇다면 각속도 벡터가 적절히 어느 경로를 따라서 회전해야 되는데 그 경로가 저 타원들이 겹치는 선이다

그래서 그냥 간단히 저 타원체들이 겹치는 경로를 따라 회전한다 라고 생각하면 된다.

이렇게 타원체가 겹치는 일이 언제 생기냐면 관성 모멘트가 두번째로 큰 축으로 돌 때이다.

아무튼 과학자들은 이렇게 의도하지 않은 방향으로 도는 게 예전에 이미 나온 이론이라는 걸 알았고 뭔가 조치를 취함

익스플로러 3호부터는 안테나 재질을 바꿔서 문제를 해결했다.

현재 탐사선/인공위성들은 반작용 휠이나 RCS를 장착하니까 어느 정도 이런 문제에서는 자유롭지만, 아직도 회전 안정 방식을 사용하는 우주선이 있으니까 이런 거 계산은 지금도 하고 있을 것 같다.

 

참고:

Poinsot's ellipsoid - Wikipedia

https://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraft/display.action?id=1958-001A

aerospacenerd.com/2020/05/11/lessons-learnt-spinning-satellites-explorer-1/

https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem

Tennis racket theorem - Wikipedia

Fowles 해석역학 책

 

여기 말고 딴데 쓴 글이라 말투나 그런 게 좀 걸릴 수 있음.